如何理解宇宙学原理？《张朝阳的物理课》推导宇宙学度规

在此前的(de)课程中，我们深入学习了引力波的(de)计算，并掌握了测地偏离方程的(de)推导与应用(yòng)。本节课将开启一个全新的(de)篇章——宇(yǔ)宙学。在这一部分(fēn)，我们将重点介绍如何从基本原理出发，推导出宇(yǔ)宙学的(de)基石——FLRW 度(dù)规。3月2日12时，《张朝阳的(de)物理课》第二(èr)百三十八期(qī)开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播間(jiān)，在回顾宇(yǔ)宙学原理如何确定度(dù)规形式及史瓦西时空的(de)求解過(guò)程后，进一步探讨了如何通過(guò)将宇(yǔ)宙学度(dù)规写成(chéng)静态形式，并借助求解史瓦西时空的(de)方法，利用(yòng)最大對(duì)称空間(jiān)假(jiǎ)设推导径向曲(qū)率函數(shù)的(de)解析表达式。

（张朝阳最大對(duì)称空間(jiān)假(jiǎ)设下推导径向曲(qū)率函數(shù)的(de)手稿）

宇(yǔ)宙学原理

在宇(yǔ)宙中，引力是起主导作用(yòng)的(de)基本力，尤其在大质量(liàng)天体或者星(xīng)系、星(xīng)系团所主宰的(de)区域中尤为明显。我们此前求解過(guò)恒星(xīng)的(de)内部解和外部解，并研究過(guò)爱因斯坦场方程，而其核心目標(biāo)正是确定时空的(de)度(dù)规。一旦度(dù)规被确定，整个时空的(de)几何结构也(yě)随之明确。

在早期(qī)的(de)研究中，例如求解史瓦西度(dù)规时，我们通常假(jiǎ)设时空具有(yǒu)静态球對(duì)称性(xìng)。这样的(de)對(duì)称性(xìng)不仅大大简化了度(dù)规的(de)形式，也(yě)使得方程更易于求解。因此，在研究特定物理问题时，分(fēn)析其對(duì)称性(xìng)以及带来的(de)便利是非常重要的(de)。

在宇(yǔ)宙学中，一个极为重要的(de)假(jiǎ)设是爱因斯坦所提出的(de)宇(yǔ)宙学原理，即在极大的(de)尺度(dù)（大于 10 亿光年）上，宇(yǔ)宙可以被视为均匀且各向同性(xìng)的(de)。这意味着，我们可以忽略恒星(xīng)、星(xīng)系、星(xīng)云以及星(xīng)系团等局部结构的(de)细节，仅关注整体的(de)平均性(xìng)质。这一情形类似于从飞机俯瞰森林时，我们的(de)人眼看到的(de)只是连绵的(de)绿色，而个别树木的(de)形状、种类等细节只有(yǒu)借助高倍望远镜才能分(fēn)辨。从这个意义上说，宇(yǔ)宙学原理像是一个视力极差的(de)人来观测我们的(de)宇(yǔ)宙，看到的(de)模(mó)糊效果。

在宇(yǔ)宙学原理的(de)框架下，各向同性(xìng)意味着球對(duì)称性(xìng)仍然成(chéng)立，而均匀性(xìng)进一步表明，时空的(de)度(dù)规应儅(dāng)允许选取一种特殊的(de)坐標(biāo)系，使得时間(jiān)和空間(jiān)保持正交(jiāo)。进一步，可以选择一个适儅(dāng)的(de)时間(jiān)坐標(biāo)，使得線(xiàn)元中时間(jiān)前的(de)因子归一，即设为 1，这相儅(dāng)于在三维空間(jiān)的(de)任意位置具有(yǒu)相同的(de)宇(yǔ)宙时，并以相同的(de)时間(jiān)流逝。由于我们仅要求空間(jiān)在每个时刻保持均匀各向同性(xìng)，因此其几何结构应儅(dāng)在某一时刻内具有(yǒu)相同的(de)性(xìng)质，而随时間(jiān)演化时，空間(jiān)整体可能发生膨胀或收缩。这表明，空間(jiān)尺度(dù)可以是时間(jiān)的(de)某个函數(shù)，即度(dù)规应儅(dāng)包含一个刻画宇(yǔ)宙膨胀或收缩的(de)因子。因此，在此坐標(biāo)系下，宇(yǔ)宙的(de)線(xiàn)元可写为

展开全文

對(duì)应的(de)度(dù)规为

经過(guò)宇(yǔ)宙学原理的(de)對(duì)称性(xìng)约束后，度(dù)规中仅剩下两个未知函數(shù)：a(t)和b(r)。这正是對(duì)称性(xìng)在物理问题中展现出的(de)强大作用(yòng)——通過(guò)合理的(de)對(duì)称性(xìng)假(jiǎ)设，我们能够大幅减少未知变量(liàng)，使问题变得更具可解性(xìng)。这里的(de)a(t) 被称为尺度(dù)因子（scale factor），它描述了宇(yǔ)宙在时間(jiān)演化過(guò)程中整体膨胀或收缩的(de)程度(dù)。而b(r)则与空間(jiān)几何的(de)具体形式相关，我们将之称为径向曲(qū)率函數(shù)（radial curvature function）。这一度(dù)规形式奠定了宇(yǔ)宙学中的(de)基本框架，为我们进一步研究宇(yǔ)宙学提供了數(shù)学基础。

在采用(yòng)宇(yǔ)宙学原理之后，我们可以對(duì)物质的(de)分(fēn)布进行平滑化处理，仅关注其统计性(xìng)质，而無(wú)需考虑局部的(de)细节。换句话说，个体的(de)恒星(xīng)、星(xīng)系、星(xīng)团等具体结构可以被忽略，我们只关心其整体的(de)平均行为。在这样的(de)近似下，宇(yǔ)宙中的(de)物质表现得类似于一团均匀各向同性(xìng)的(de)理想流体。这一思路与求解恒星(xīng)内部解时的(de)做法类似——在研究恒星(xīng)结构时，我们将恒星(xīng)视为理想流体。同样，在宇(yǔ)宙学中，我们可以利用(yòng)理想流体的(de)连续性(xìng)方程和能量(liàng)动量(liàng)张量(liàng)来描述宇(yǔ)宙的(de)整体演化。这一部分(fēn)我们将在下一节讨论。

回顾史瓦西时空的(de)求解過(guò)程

我们先回顾史瓦西时空的(de)求解過(guò)程。在具体求解史瓦西时空的(de)過(guò)程中，我们首先假(jiǎ)设線(xiàn)元的(de)形式为

该線(xiàn)元對(duì)应的(de)度(dù)规为

根据这一度(dù)规，我们可以计算克氏符，其表达式为

在该度(dù)规下，非零的(de)克氏符分(fēn)量(liàng)为

其中，A′(r)和B′(r) 表示對(duì)r的(de)导數(shù)，指標(biāo)0表示时間(jiān)坐標(biāo)，1表示径向坐標(biāo)r，2表示角向坐標(biāo)θ，3表示极向坐標(biāo)ϕ。接下来，将这些克氏符代入里奇张量(liàng)的(de)表达式

可以得到非零的(de)里奇张量(liàng)分(fēn)量(liàng)：

这些计算结果在求解史瓦西度(dù)规的(de)過(guò)程中已经得到了，因此我们后面可以直接使用(yòng)它们。具体计算過(guò)程可参考2023年12月31日跨年演讲的(de)第194期(qī)。接下来，我们利用(yòng)真空爱因斯坦方程（即里奇平坦条件）：

并结合适儅(dāng)的(de)邊(biān)界条件和渐进条件之后，求解A(r)和B(r)的(de)具体形式。最终得到：

其中

被称为史瓦西半径。對(duì)于太阳来说，其史瓦西半径仅约3 km。

(张朝阳回顾讲解史瓦西度(dù)规的(de)求解過(guò)程)

求解径向曲(qū)率函數(shù)b(r)

为了求解宇(yǔ)宙学度(dù)规中的(de)径向曲(qū)率函數(shù)b(r)，我们希望避免重新计算复杂的(de)黎曼曲(qū)率张量(liàng)、里奇张量(liàng)和曲(qū)率標(biāo)量(liàng)。相反，我们想利用(yòng)先前在史瓦西度(dù)规中已经推导出的(de)里奇张量(liàng)的(de)形式，直接提取b(r) 的(de)信息。这种方法不仅可以简化计算過(guò)程，还能有(yǒu)效利用(yòng)已有(yǒu)的(de)计算结果，使推导变得更加高效。

为了利用(yòng)史瓦西度(dù)规的(de)结果，我们必须假(jiǎ)设宇(yǔ)宙学度(dù)规中的(de)尺度(dù)因子a(t) 为常數(shù)。这是因为史瓦西度(dù)规描述的(de)是静态时空，而宇(yǔ)宙学度(dù)规则對(duì)应于动态时空，二(èr)者完全不同，無(wú)法直接联系起来。只有(yǒu)在尺度(dù)因子不随时間(jiān)变化的(de)特殊情况下，宇(yǔ)宙学度(dù)规才会退化为一个静态形式，从而使得两者具備(bèi)可比性(xìng)。

接下来，我们通過(guò)适儅(dāng)的(de)坐標(biāo)变换，将宇(yǔ)宙学度(dù)规的(de)形式调整为与史瓦西度(dù)规相匹配，从而能够直接利用(yòng)史瓦西解的(de)已知结果来确定径向曲(qū)率函數(shù)b(r)。首先，假(jiǎ)设宇(yǔ)宙学度(dù)规中尺度(dù)因子a为常數(shù)，此时的(de)線(xiàn)元（1）可以写为：

我们引入如下坐標(biāo)变换：

其中 A 为常數(shù)。将其微分(fēn)形式写出：

并代入線(xiàn)元（5），可得

这就是新坐標(biāo)系下的(de)線(xiàn)元形式，且恰好与求解史瓦西度(dù)规时假(jiǎ)设的(de)線(xiàn)元（2）形式一致。因此，我们可以直接利用(yòng)史瓦西解的(de)里奇张量(liàng)分(fēn)量(liàng)（3）和（4），并在其中代入A为常數(shù)的(de)条件，得到新的(de)里奇张量(liàng)分(fēn)量(liàng)：

由于这些表达式是在新的(de)坐標(biāo)系中定义的(de)，里奇张量(liàng)的(de)分(fēn)量(liàng)都写为R'表示。b和B之間(jiān)的(de)关系有(yǒu)

(张朝阳推导宇(yǔ)宙学度(dù)规）

计算出上面两个里奇张量(liàng)的(de)分(fēn)量(liàng)之后，我们可以采取两种方式来理解并求解曲(qū)率函數(shù)b：一种是物理课線(xiàn)上所使用(yòng)的(de)最大對(duì)称空間(jiān)的(de)假(jiǎ)设，第二(èr)种是利用(yòng)空間(jiān)的(de)均匀各向同性(xìng)。在第一种方法中，我们假(jiǎ)设線(xiàn)元（1）或（5）描述的(de)是一个具有(yǒu)最大對(duì)称性(xìng)的(de)空間(jiān)，即常曲(qū)率空間(jiān)。常曲(qū)率空間(jiān)具有(yǒu)最高對(duì)称性(xìng)，即有(yǒu)n(n+1)/2个對(duì)称性(xìng)，其中n是空間(jiān)的(de)维數(shù)。在这种情况下，该空間(jiān)的(de)黎曼曲(qū)率张量(liàng)满足

其中这里的(de)k1称为常曲(qū)率，儅(dāng)描述的(de)是二(èr)维最大對(duì)称空間(jiān)（如球面或双曲(qū)面），曲(qū)率k1等同于曲(qū)面论中的(de)高斯曲(qū)率。對(duì)于宇(yǔ)宙学的(de)情况，上式中的(de)度(dù)规g'是三维空間(jiān)部分(fēn)。从而得到里奇张量(liàng)和曲(qū)率標(biāo)量(liàng)分(fēn)别为

接下来，我们将这个里奇张量(liàng)的(de) 11 分(fēn)量(liàng)与等式（7）中的(de)结果對(duì)比，得到

其中

将上式写成(chéng)全微分(fēn)形式

因此有(yǒu)

即解得

因此，線(xiàn)元（6）可以写为

最后，通過(guò)坐標(biāo)变换回到旧坐標(biāo)系，我们得到

其中

将上述線(xiàn)元再推广为

这就是在最大對(duì)称空間(jiān)假(jiǎ)设下推导出的(de)宇(yǔ)宙学線(xiàn)元。该结果表明，在均匀各向同性(xìng)的(de)前提下，空間(jiān)的(de)度(dù)规必须具有(yǒu)常曲(qū)率形式，而径向曲(qū)率函數(shù)b(r)由空間(jiān)的(de)空間(jiān)曲(qū)率k决定。这一線(xiàn)元中再假(jiǎ)设将尺度(dù)因子推广为时間(jiān)的(de)函數(shù)，正是標(biāo)準(zhǔn)弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度(dù)规的(de)空間(jiān)部分(fēn)，描述了宇(yǔ)宙在不同曲(qū)率情况下的(de)几何结构。k=0對(duì)应于三维平直空間(jiān)的(de)情况，k<0對(duì)应于三维双曲(qū)空間(jiān)的(de)情况，k>0對(duì)应于三维球面。值(zhí)得注意的(de)是，我们虽然用(yòng)了静态假(jiǎ)设推导出了径向曲(qū)率函數(shù)b(r)的(de)形式，但通過(guò)直接求解带宇(yǔ)宙学常數(shù)、能动张量(liàng)为理想流体的(de)爱因斯坦场方程，得到的(de)结果相同，实质上不依赖于静态假(jiǎ)设。

（张朝阳最大對(duì)称空間(jiān)假(jiǎ)设下推导径向曲(qū)率函數(shù)）

另一种推导宇(yǔ)宙学度(dù)规的(de)方法是将里奇张量(liàng)的(de)分(fēn)量(liàng)写成(chéng)(1,1)型

在空間(jiān)均匀各向同性(xìng)的(de)假(jiǎ)设下，上述两个表达式应该相等。其物理意义在于，空間(jiān)的(de)各个方向是等价的(de)，因此里奇张量(liàng)的(de)空間(jiān)對(duì)角分(fēn)量(liàng)必须相同。这类似于理想流体的(de)能量(liàng)动量(liàng)张量(liàng)，在(1,1)型表示时，空間(jiān)部分(fēn)的(de)压强分(fēn)量(liàng)必须一致：

同理，由于空間(jiān)的(de)各向同性(xìng)，我们要求

表达式（8）和（9）代入其中，可得

整理后，得到

将其写成(chéng)全微分(fēn)形式：

积分(fēn)后可得

最终得到

这一结果与前面通過(guò)最大對(duì)称空間(jiān)假(jiǎ)设推导出的(de)最终结果一致，进一步验证了均匀各向同性(xìng)条件下，空間(jiān)必须具有(yǒu)常曲(qū)率形式。这表明無(wú)论采用(yòng)哪种方法，FLRW 度(dù)规的(de)空間(jiān)部分(fēn)都应满足相同的(de)數(shù)学结构。

据了解，《张朝阳的(de)物理课》于每周周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期(qī)完整视频回放；关注“张朝阳的(de)物理课”账号，查看课程中的(de)“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的(de)“搜狐科技”账号上，阅览每期(qī)物理课程的(de)详细文章。